曹则贤：从一元二次方程到规范场论|中国科学院2022跨年科学演讲

2021年12月29日-31日，由中国科学院科学传播局主办，中国科学院物理研究所、抖音承办的“复兴路上的科学力量——中国科学院2022跨年科学演讲”在北京举行。

12月31日晚19:30，中科院物理所曹则贤研究员现场开讲《从一元二次方程到规范场论》，央视创造传媒艺术副总监王雪纯受邀担任现场主持。

点击下方链接可下载曹老师演讲的PPT：

http://bytedance.feishu.cn/docs/doccnvNNYumJ2uAKjlBM8B3AeOd

（以下内容根据现场速记内容整理，时间仓促，未经主讲人审核，内容难免有误；部分公式受限于微信编辑器，格式可能有不规范之处，敬请谅解）

尊敬的各位朋友，在讲完了相对论与量子力学之后，我想说我们应该进阶去讲规范场论，但是去年透露这样的一个题目的时候有人说不行，太难了，能不能讲点简单的。

但是我一想，其实我们学过所有的数学与物理的领域，我实在没想出哪个是简单的，如果大家真认为简单，可能大家误以为小学学过的加减乘除那个简单，我负责任地告诉大家这是一个误解。加法你说学会了，我告诉大家门都没有；我提醒大家一句，乘法在1844年格拉斯曼《扩展的学问》这本书里面，提供了16种不同的乘法。我不知道许多人听过过吗，乘法有这么多种乘法？所以加减乘除要排除，实在太难了。

所以，如果要挑一个简单的一元二次方程，大家可以看一下题目下面的洋文——“De Equazione Algebrica zur Eichtheorie”前半段是意大利语，后半段是德语，因为一元二次方程后边发展出来的一元三次方程、一元四次方程，都是发生在意大利那个地方，规范场论是来自说德语的地方，就是德国、瑞士与奥地利。我提醒大家注意一下，我们学的物理里面，流体力学、规范场论等产自于一个很小的国家，这个国家叫瑞士，待会儿会给大家讲细节。

今天这样的讲座，希望花2-3小时时间给大家理清楚从一元二次方程，大家误以为是最基础的地方，如何一路走到规范场论理论物理的天花板。这样安排我的讲座，确实受到我的朋友们的批评，说我讲座的题目特别不友好，为什么我这么不友好呢？我觉得因为我们现在处于一个技术超越神话的时代，而且这也是一个科学已经深入人心的时代。今天的我们尤其我看现在十几岁二十岁的年轻朋友们，我觉得再也不能像我这代人读小学、读中学，读到大学，突然有一天明白自己什么也没学着，这个不可以再有了，我希望我们现在的青少年朋友们，能够早早地接触到真正的学问，接触到深刻的学问。

我非常高兴的看到，在我们的国家今天进入到一个科学深入人心的时代。

今天一个刚上学的小朋友都知道不会科学要被人欺负，今天国家发展过程当中更知道没有掌握最顶尖技术，没有掌握顶尖技术下面深厚的数学物理知识，我们可能要被人欺负的。所以今天我们应该好好学科学。

提及学科学的时候提醒大家请当真，学习科学的细节、思想、方法、体系，学科学如何构建、如何批判、如何表述，这个过程当中我们可能也要学科学家，我们学科学家什么呢？我们应该学科学家是如何学习与创造的，说句大白话，就是今天真要学习的话，吃鸡腿，不要喝鸡汤。

近代科学发展我们都知道它的基础是数学的语言，这一点在我们数学书里面有一个不太提及的人，是意大利人斐波那契(Fibonacci)。他是一个商人孩子，他在1202年的时候把印度..人创造的一套字母，就是0123456，我们现在都管它叫..数字，这套..数字再加上西方的拉丁字母和希腊字母，这三套加在一起就是今天自然科学的语言。

所以我提醒我们的中小学教育的时候一定要把这三个基本语言教清楚，不管是纯数学的欧拉公式，这是被誉为人类最美的公式，没有之一，或者库伦公式，元素都是包括..数字、拉丁语字母、希腊字母，这些西方科学在明朝、清朝都传入我国，我们曾经试图用汉语写它，大家如果见过用汉语写矩阵组乘法的时候就知道，写了一页你根本不知道这一页是什么东西，极大的阻碍了科学的传播。今天我们人民一定要有一个特别开放的心态，要把所有人类知识都当做自己的。

刚才说的是最开始的，我们很快要学到最高深的，这里面我一定要提及一位非常受人尊敬的先生，刚过了虚岁诞辰一百周岁。很多人在短视频中都说杨先生最引以为傲的成绩不是1953年获得诺贝尔奖的宇称不守恒，而是1954年的Yang-Mills，这是第一个非阿贝尔规范场论第一篇，什么意思？我待会会讲。我想说的一句话是什么呢？我认为我们对这些科学巨擘如果要想表达稍具一点诚意尊敬的话，请去弄懂他到底做了什么，我相信如果你乐意的话其实是可以做到的。

所以今天我的报告内容大概就是有这些内容，先聊两句闲话，从一元二次方程开始，接下来是一元三次方程、一元四次方程，到一元五次方程的时候发现不可解了，发现不可解去理解这样一个不可解就会引出很多学问。

解到一元三次方程就会引进虚数，虚数就有人把它扩展成复数，就是二元数，将来就有人扩展成四元数、八元数，这是数字体系的框架发展。一元五次方程不可解得出一个学问，这个学问叫做群论，有了群论，有了四元数和复数表达，终于有一天我们会发展出规范场论，说从最基础的一元二次方程到这个地方逻辑的链条或者逻辑的台阶，我会给大家讲清楚。

一句话，我们注意到中小学老师经常会教孩子们说记住知识点，但是知识点如果都是散点的话，是记不住的，知识就像蚂蚱，你得把它串成串就好记了。有一个人说我听不懂，不知道线上朋友是不是有时候三两句听不懂转头就走了，我想说不要担心，请你一定要坚持听完，我都坚持站着讲三个小时，你还不能坚持躺着刷三个小时的手机吗？所以请大家耐心一点，我不敢保证这里的内容你能够听懂，但是我一定努力让你今天听到的东西会对你有启发。这个讲座是人类里面最顶尖的向思想者致敬之旅，内容听不懂没有关系。

还是回答主持人问的问题，为什么老讲不太友好的课题，为什么讲那么难的数学和物理？这是因为我自己上了快50年的学，我深切感觉到我们应该学一些数学和物理，以及我们作为一个受人尊重的民族，应该努力为人类贡献一点数学和物理。关于这样一个问题，我们建国领袖毛主席1942年在延安文艺座谈会上讲话说的很清楚了，中国人要对世界文明做出自己应有的贡献。

数学和物理的历史我个人认为主要是由一些天才的头脑创造的，在中国有14亿人口基数，青少年2亿左右，他们中间一定不缺乏特别有天分的青少年。我特别想提醒他们，作为一个很有头脑的青少年尤其是天才，没有创造，天才是不可原谅的，所以我提醒有天分的青少年朋友们，不要浪费你们的天分。

哪些天才呢？大家学这项人物，比如近代科学之父、物理之父伽利略，牛顿大家都知道，这是科学大神瑞士人欧拉。

关于数学，数学该学到什么程度呢？或者什么样的人是数学家呢？数学界非常有趣有一个判据，说一个人他如果睡着了，你上去咣当踢他一脚把他弄醒了，问庞加莱引理是什么，他如果说不上来一定不是数学家，他如果说上来，那也不一定是数学家。但是这是一个必要条件，就是一个人睡梦中被踢醒了一定要知道什么是庞加莱引理。

关于物理学家，数学家是物理学家的语言，物理学家是用方程唱歌的人。

回顾一下我们上大学学过所谓的那些物理，其实都总结到这些公式里面了，比如这是简单的牛顿第二定律，力学下一步发展就到这个方程，叫做欧拉-拉格朗日方程，再往上到哈密顿-雅可比方程，这样的方程把它改造一下，求波动解的话就会得出量子力学方程。这是电磁学方程，电磁学和量子力学结合将来就会有电动力学。这是第一次工业革命最根本的公式，这叫热力学主方程。理解了这样一个公式才能理解人类第一次工业革命。

从一元二次方程到规范场论，如果大家没有耐心听的话，只要看这张图就能理解它说的什么。

从一元二次方程到二次、三次、五次方程这是解方程，解三次方程就会解不下去，就会让你们不得不引入虚数和复数，然后就有了复变函数。接下来就有四元数、八元数，这是数学发展。五次方程不可解就会得出群论，这些数学准备好了以后学物理就简单了，所谓量子力学会用到群论和四元数，学电动力学要用这里面的矢量分析和四元数。

这里有一个东西叫做微分几何，微分几何和群论学好了以后学相对论就简单了，群论、微分几何、电动力学、量子力学都学会了以后你学规范场论就齐了，这中间逻辑关系是非常清楚的。我再强调一遍，我们之所以当年在大学读研究生读这些课读不懂，是因为他相应需要的数学物理基础都没有教，我们课本有一个特别不好的印象，给人一种误解，就是那一门学问只是这些书本里面的内容，其实不是。

从一元二次方程到规范场论里面到底有哪些内容呢？大家比较熟悉的一元二次方程，它其实是一个平方项和线性项这两个怎么凑到一起的问题，是二次和一次型怎么加的问题，所以最难理解的问题恰恰是加法，现在你知道做到加法不容易了吧。接下来当有复数的时候，你会发现复数不光是我们学的a+bi，复数可以有七八种不同的表示，这些表示包括四元数都有不同表示，运算法则和表示就出来了。

当我们用群的语言讨论一个代数方程为什么不可解的这套语言的时候，这个地方涉及到结构和表示，等我们学规范场论的时候发现这不过是微分二次型和一次型，和如何解一元二次方程是一回事，结构上是相同的，这就提示我们学数学、物理不是课堂做几加几，你需要学的是最重要的法则、结构、表示，这些才是数学最威猛的地方，也是让你理解物理和发展出物理的地方。

今天学两个关键词：

第一个词儿叫置换，这个可能比较简单，如果大家喜欢打牌的话，拿一手牌换一种放法，这就叫置换。置换是今天的主题，比方说这是123456，你把1换成4，2换成3，3换成2，4换成5…得出123456另外一种排列方式，这是置换比较好理解。

第二个要学习交替，交替特别重要，这是三维空间里面的多边形，关于多边形有一个欧拉定理，顶点数V减去边数E，加上面数F，减去体数S，体数S始终等于1，所以这个公式应该是V-E+F=2，其实我把它写成V-E+F-S=1。

大家看这个地方涉及到的不是减号，还是加号，只是加上一个负的东西，前面的符号是加减始终交替出现，交替这个东西非常重要，而这个地方作为几何对象，几何对象没有顶点数减边数，这个负号是告诉你几何对象有取向。大家想想如果绕着小公园遛一圈，你当时就明确路径有取向，可以顺时针绕，也可以逆时针绕。学几何的时候，几何里面从来没有教大家几何有取向。

明白这个道理的时候现在开始学方程，许多人以为会，让我们看会到哪。一般的一元二次方程写ax²+bx+c=0，这里a、b、c可以是整数，如果不要求a、b、c是整数，其实就应该是这样一个方程，x²+bx+c=0，也就是说这里参数只有b、c两个。

老师教大家配平方就能够得出两个根：

根号下得出b²-4c这一项，如果b²-4c大于0，开根号，就得出两个根；如果b²-4c小于0，我们叫方程无解，就是它不合理，或者说我不懂我不知道该怎么办。这时候许多人会误以为说b²-4c根号下是负的，可以利用：

我们在中学里面学过，老师教过，我想说的是你想多了，人们解一元二次方程的时候遇到根号下是负的，因为不了解，不了解哪个数平方等于负，所以说直接取无解，这是最合理的做法。

这个地方你会注意到什么呢？注意到这个地方有b²-4c，它是判别式，它到底是什么意思？我们不解具体方程，把求的方程两个根，x_1，2要表示成x₁+x₂和(x₁+x₂)²-4 x₁x₂，这是什么意思？在解这之前，大家肯定觉得这个方程太简单了，老师也给出解法了。

我现在告诉你，事情没有那么简单，不仅关于这个方程一般理论一元二次方程你还没有学，就是特殊的挑几个例子，这几个数学你大概都没有学过，解x²-x-1=0的方程，这个方程的根等于：

这个数就是黄金分割数，它和10次转动有关。

x²-2x-1，它的根：

这是白银分割数，和8次转动有关系。而x²-4x+1=0，它的根：

是白金分割数，和12次转动有关。而人生活的三维物理空间允许准晶的转动就是18、12次。

随便挑出一个黄金分割数能够有多少内容呢？关于黄金分割数我知道的至少有三本专业的杂志，关于这一个数就有专门三本数学杂志，最早的Fibonacci季刊专门发表有关黄金分割数的内容，这个杂志已经发行了一百多年了，请同学们再想想，你还敢说你会吗？这本杂志你随便看哪页都不懂，而这仅是关于特殊的一元二次方程一个根的故事。

现在深入研究一下一元二次方程，把一元二次方程改成x²-bx+c=0，为什么这么改呢？这是因为这么改的时候x、b和c都可以理解成长度，就可以用几何法研究这个方程了。

我们用几何法研究方程如上图所示，做一个直径是b的圆，从底下点A做一个切线段，切线段长度是c，如果b²-4c>0，就是说c比较短，从c的另一端做一个垂线RT的时候，与圆有两个交点，这就是我们常说的方程有两个根。

如果c再大一点，使得b²-4c=0，垂线RT与圆相切，只有一个接触点，这个方程只有一个根。这个地方又遇着了数学书里面一个错误概念，当b²-4c=0的时候，是这个线刚刚搭上去，只有一个交点，汉语把它翻译成相切，不对，这不叫切，这是刚摸着、碰着，而不是切，这就是我们为什么老学不会的问题，这是一个错误的概念。

现在回到刚才提到的b²-4c<0的时候是什么样的，说明c比较长，从这里做垂线不与圆相交，刚才说b²-4c<0没意义，好像有意义了。有人肯定要说怎么错过去叫有意义呢？

我给你举一个英语课上的例子，什么是错过是有意义的。这是我们常见的表达，我想你。大家还记得英语i miss you，miss就是错过。不管是英语i miss you还是法语Tu me manques，是我错过你，我错过你才想你，错过是有意义的。所以这告诉我们b²-4c<0是有意义的，但是什么意义，别着急，我们等待接下来的讲解。

我们看研究x²+bx+c=0这个方程，你会注意到，如果一个方程有两个根的话，永远可以把方程写成(x-x₁)(x-x₂)=0的形式，这才是一元二次方程。那么这个方程的标准形式为x²-s₁x+s₂=0。

你会发现这里的符号很有意思，就是+、-、+、-，交替出现了，请大家记住交替是重要的东西。由以上可知，x₁+x₂=s₁，x₁*x₂=s₂。我从 x₁+x₂和 x₁* x₂，就一定能得出 x₁-x₂。有了x₁+x₂和 x₁-x₂，就可以得出  x₁、 x₂各自的表达式。于是我们知道一个方程根 x₁、 x₂应该由它本身来表达——

请记住不是加减，是正负，代数方程里面没有减法，请同学们一定记住。

这个方程就很有意思了，很多人不明白这个道理，你看我求的方程是两个根，怎么用它本身来表达，你在绕我吗？不对，这个道理我是没弄明白，我发现金融界的人士就明白了，他们用明天可以挣到钱，在今天挣你的钱，这个哲学可重要了。

用根自身来表示，这是一种哲学的转变，我用要被寻找的根来表示这个根。如果大家再不明白这个道理的话，就是参照一下金融行业人员，他们一直都是这样干的，用他们明天才会拥有的钱，今天来挣你的钱，只有这样的话我们才能理解金融学，我们也才能理解什么是一元二次方程，这些东西没教，不着急，接下来往下说。

x²+bx+c=0，到底是一个什么样的方程呢？其实我们注意到就是x²=c₁、bx=c₂这二者如何叠加和兼容的问题。大家可能会有疑问加法与乘法有什么兼容的问题？比如说数学里面最难的费马大定理，xⁿ+yⁿ=zⁿ，这就是一个乘法与加法相融的问题。当n大于等于3的时候，你找不出整数x、y、z，使得这样的算式成立。也就是说当n大于等于3的时候，这里面的乘法加法不相容。所以一元二次方程重要的是乘法与加法怎么揉到一起去的问题。

既然这样的话，我们来看，我们来理解x²=c₁这个问题，c₁这个数只有两种可能，要么是正数，要么是负数。所以我们需要理解的是x²等于正负1的问题，你会发现x²=1好理解，x²=-1算是怎么回事？

如果x²=-1存在的话，你会发现x²=1和x²=-1绝对是两个不联通的世界。这两个世界是怎么回事？或者我们来看物理的看x²+bx+c=0这个方程是什么样，我把x理解成距离，x移动b/2，把它改造成x²=c₁的问题。然后，两边同除c₁的绝对值，就变成x²=1的问题。

所以，一元二次方程说到底就是要解x²=1的问题，也就是说一元二次方程所有的内容，是让你理解加法与乘法怎么凑到一起，当然x²=1你理解了，问题就剩下x²=-1是怎么回事。