丁玖：阿达马的数学、讨论班及中国情

撰文 | 丁玖（南密西西比大学）

责编 | 王雨丹

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读者朋友，如果您问我：在上个世纪最有名的西方数学家中，哪个人的脸庞面相可与中国的乡绅智叟相近到 “以假乱真” 的地步？我的回答是：法国数学家雅克·所罗门·阿达马（Jacques Solomon Hadamard，1865-1963）。下面这张是有他签名的标准像：

在二十世纪的数学世界，阿达马的名字可谓如雷贯耳。数论学者不会不知道他给出了素数定理的第一个证明；偏微分方程理论的行家都熟悉他提出的 “适定问题” 概念；玩耍行列式的高手不仅知道所谓的 “阿达马不等式”，而且说不定也会玩只由正1和负1组成的 “阿达马矩阵”；熟悉数学讨论班历史的研究生可能对阿达马主持几十年的讨论班心向往之；对 “数学家怎样研究数学” 这类问题大感兴趣的人，可能读过他的专著《数学领域的发明心理学》……此外，他活到了近98周岁的高寿，这足以让一众数学家羡慕不已。

阿达马晚年对中国人非常有感情。70岁高龄之时，他甚至来到中华民国时期的东方古国传授现代数学；当他快90岁时，还接受了华罗庚教授的正式邀请，将他一生中的最后一部著作《偏微分方程论》交给中国出版，此书在他逝世后一年由科学出版社隆重推出。

我在近二十年前读过一本他的人生与数学传记，是由美国数学会和伦敦数学会1998年联合出版的，书名的中文翻译是 “全能数学家阿达马”（Jacques Hadamard, A Universal Mathematician）。本文写在阿达马逝世58周年之际，向读者介绍他的数学、讨论班及中国情。

阿达马于1865年12月8日出生在一个犹太人家庭，父亲是位教师，主要教授古典语言和法语文法。在父亲任教的中学毕业后，阿达马于1884年以入学考试第一名的成绩考入巴黎高等师范学校（简称巴黎高师）。他的老师包括历史留名的数学家埃尔米特（Chares Hermite，1822-1901）、达布（Jean-Gaston Darboux，1842-1917）和皮卡（Charles Picard，1856-1941），后者是他的两个博士论文指导教授之一。

1892年，阿达马获得数学博士学位，并于当年12月19日以关于黎曼ζ函数的优秀论文获得他一生中的第一个奖：法国科学院的数学科学大奖（Grand Prix des Sciences Mathématiques）。

同一年，阿达马的人生之喜也接踵而至，他与一位犹太姑娘喜结良缘。他们共生了三个儿子和两个女儿，其中一个女儿杰奎琳（Jacqueline Hadamard，1902-1988）几十年后对提升他与..的感情起到了积极的促进作用。然而，阿达马的三个儿子都先后在两次世界大战中死于德国人的炮火，这在国际知名数学家的家庭中可能是绝无仅有的。

婚后第二年，阿达马搬到古老的波尔多大学（Université de Bordeaux）任教，在这里的第一年，他证明出了关于行列式的著名不等式 “阿达马不等式”，并于当年发表。这个关于复矩阵的数学公式，如果用于三阶的实矩阵，其几何意义就是：以三个向量为相邻边的平行六面体，当三边两两垂直时体积最大。在考虑该等式何时成立的过程中，他获得了一类矩阵的灵感，即使等式成立的元素若非1就是-1，并且每两行相互正交的那些方阵，现也以他的名字命名（阿达马矩阵）。

1896年是阿达马的幸运年。刚刚三十而立的他证明了素数定理，所用的工具正是他擅长的解析函数理论。数论中的这个有名的定理，首先来自于法国数学家勒让德（Andrien-Marie Legendre，1752-1833）十八世纪末提出的猜想，回答的问题是关于素数在整个自然数中的渐近分布规律。

素数，即除了1和自己外不能有其他正整数因子的大于1的自然数（如5是素数而12就不是）。素数定理说，不超过实数x≥1的素数个数，当x趋于正无穷大时渐近等于x除以它的自然对数。历史上的数论大家，如德国人高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）与狄利克雷（Peter Gustav Lejeune Dirichlet，1805-1859）以及俄国人切比雪夫（Pavnuty Ljvovich Chebyshev，1812-1894），都对此定理的最后建立做出了重要的贡献。

除了素数定理，这一年，阿达马的第二大数学贡献则是他关于曲面微分几何和动力系统中测地线的研究，为此他获得了法国科学院的鲍丁奖（Bordin Prize of the French Academy of Sciences）。同年他被任命为波尔多大学的天文学与理性力学教授。两年后，由于对几何和符号动力学尤其是关于负曲率曲面测地线的持续研究，他又一次获得了法国科学院颁发的荣誉：蓬斯莱奖（Poncelet Prize）。

功成名就的阿达马于1897年回到巴黎，先后就职于索邦的巴黎大学和法兰西学院，1909年被任命为后者的力学教授。1912年，他又担任了巴黎高工的分析学教授。

从回到巴黎的时代起，他的研究兴趣慢慢转向数学物理领域，尤其是偏微分方程、变分法和泛函分析的基础理论。当今科学工作者耳熟能详的 “适定性问题” 概念，创始者就是他。在这一概念中，阿达马认为，物理现象的数学建模满足下列 “三项基本原则” 后才算是 “适定的（well-posed）”：1. 解存在；2. 解唯一；3. 解的性态随初始条件的改变而连续变化。

1901年是美国耶鲁大学建校200周年，已经名满世界的阿达马被授予了该校的名誉博士学位。许多年后的1922年，他应邀去耶鲁讲学，其讲稿构成了一本关于偏微分方程的名著：《线性偏微分方程中的柯西问题讲义》（Lectures on Cauchy's Problem in Linear Partial Differential Equations）。该书1923年由耶鲁大学出版社与牛津大学出版社共同出版，80年后则被美国的Dover出版社作为经典重印。1932年他基于讲座的法文版以书名 “柯西问题和双曲线型偏微分方程” 由法国的Hermann出版社刊出。他下一本也是最后一本关于偏微分方程的著作《偏微分方程论》则由中国的科学出版社出版。

阿达马的数学贡献是全方位的，但主要的系列工作在于复变函数论，是法国函数论学派中的主要人物，也是法国著名数学家柯西（Augustin-Louis Cauchy，1789-1857）事业的接棒者。阿达马的传记作者在传记中把他称为 “全能数学家”，这并非过奖，他的确是一百年前国际数学界寥寥可数的几位数学通才之一。另一位被称颂为 “全能数学家” 的是法国的庞加莱（Jules Henri Poincaré，1854-1912），也是阿达马崇拜的数学家。

上面提到的阿达马传记有574页，分为 “阿达马的生平” 和 “阿达马的数学” 两部分，各占一半篇幅。里面收录了 “解析函数论” “数论” “分析力学与几何” “变分学与泛函” “弹性与流体动力学” “偏微分方程” 和“Gagliardo-Nirenberg不等式” 等内容，这些都是阿达马的一生所铸的数学贡献。

1916年，恰好进入五十周岁而知 “天命” 的阿达马被遴选为法国科学院的院士，以接替四年前过世的庞加莱。四年后他成了荷兰皇家艺术科学院的外籍院士，九年后又被苏联科学院选为外籍院士（之前在1922年他就已被选为俄罗斯科学院的通讯院士）。

如果民国时代的中央研究院和..时代的中国科学院可以选举外籍院士（1994年6月，中国科学院才产生了首批外籍院士），以阿达马的成就及对中国数学教育的贡献，他当选的可能性极大。阿达马生前获得的最后一个荣誉，是1956年他90周岁时得到的法国国家科学研究中心金奖（CNRS Gold Medal），这是法国最高的科学研究奖，作为对他终身成就的表彰。

第二次世界大战开始后，法国很快被纳粹德国打败。

1940年，已是74周岁高龄的阿达马先逃到南部，后在德国所控制的法国维希政府的同意下，于1941年去了美国，担任哥伦比亚大学的访问教授，直至二战结束后才返回祖国。两次世界大战，残酷得让法兰西失去太多的青年才俊，尤其是一战，仅阿达马的母校巴黎高师，就有近一半战前进校的数学系学生丧生。

此外，阿达马的两个儿子——分别生于1894年和1897年的长子皮尔（Pierre）和次子艾蒂安（Etienne），都于1916年同德军的战斗中负伤而亡，兄弟俩殉国的日期仅差两个半月，献身地点相距只四公里。到了二战期间，他生于1899年的小儿子马修（Mathieu）参加了戴高乐（Charles de Gaulle，1890-1970）将军领导的自由法国军队，但在1944年7月1日不幸战死。可以说，阿达马的家庭，是爱国主义的典范。

阿达马不仅是他那个时代国际知名的数学家，他指导的博士和学生中也出了不少杰出的数学家，他们当中我们熟悉的有弗雷歇（Maurice-Rene Frechet，1878-1973）、莱维（Paul Pierre Levy，1886-1971）和韦伊（Andre Weil，1906-1998）。分形之父芒德布罗（Benoit Mandelbrot，1924-2010）的亲叔叔芒德布罗伊（Szolem Mandelbrojt，1899-1983）也是阿达马的学生。芒德布罗伊和韦伊是法国三十年代兴起的布尔巴基学派九位创始人中的两位，而阿达马即便到了年老之时，也不时参加这些青年才俊云集的数学活动。

除了教书育人，对于数学发现或发明的实现过程，阿达马也有着细致的跟踪和回味，并将自己的观察和理念诉诸文字，写成著作留给后人，实践了 “授人以鱼不如授人以渔” 所提倡的学习与教育方法。

庞加莱曾在一个公众演讲里详细地追溯了自己证明一个重要定理之时，是在登上一架马车的瞬间获得的关键想法，以此总结了数学发现的求真过程。这个故事被阿达马写进了自己的后来脍炙人口的书《数学领域中的发明心理学》。此书的英文版于1945年由普林斯顿大学出版社出版，半个世纪后的新版书名为The Mathematician's Mind: The Psychology of Invention in the Mathematical Field。书中有句断言，也被无数的事例验证，即 “灵感是大脑无意识思维的结果，而要启动无意识思维则需要有意识的艰苦努力。” 这个举世闻名的创造型数学家，把他几十年积累的治学心得以及对同时代百位物理学家的调查结果总结成书，希望助力数学的后来人编织有效的科学之网。

除了跨越不同领域的研究成果外，阿达马被全世界数学家交口称誉的另一项创举，是他历时悠久的数学讨论班。

在如今的大学研究生院里，这早已是遍地开花的一种行之有效的科学交流与学习方式，但是在阿达马之前，从牛顿（Issac Newton，1643-1727）到庞加莱的两百年间，我们很少听说过培养学生的讨论班形式，那时的科学研究方式主要是单干加上通信交流。随着现代高等教育的兴起，历史给予了阿达马创新培养研究人才机制的一个契机，或许他是在近代数学史上，留有系统持久的讨论班活动记录的第一人。

阿达马的讨论班起始于1913年，那是他担任法兰西学院教授的第四年，也是庞加莱去世后的第二年。讨论班以他阐述庞加莱数学不同分支中的工作开始，形式上像课堂教学，不过教学内容并非是已写成书籍的古典知识，而是19世纪末20世纪初法国这位最伟大数学家之一的深刻工作。很快，除了讲述自己的研究外，阿达马开始让学生们报告其他最新的数学进展。

阿达马讨论班持续了二十多年，直到他1937年退休前停止，开始时每周一次，后来每周周二和周五两次。一位早期的参加者是中国学生比较熟悉的匈牙利数学家波利亚（George Polya，1887-1985）。他后来不仅成了和阿达马同享（差两三个月就）98周岁高寿的多面手数学家，而且也成了杰出的数学教育家，他撰写的几本名著影响了若干代学生。其他后来较为出名的参加者除了前述的芒德布罗伊、韦伊等外，还有1950年菲尔兹奖得主施瓦兹（Laurent Schwartz, 1915-2002），及一生著作等身的布尔巴基大将迪厄多内（Jean Alexandre Dieudonne，1906-1992）。他们都深情地回忆过阿达马讨论班对他们学术人生的巨大影响。

芒德布罗伊记得：“每年10月新学年开始时，阿达马将我们召集起来，他的太太端上美食。房间里堆满了数学书，我们讨论必须讲哪些论题以及由谁来讲。‘芒德布罗伊，你想讲这个吗？’ 可以，我选了它。” 他还记得讨论班覆盖过荷兰拓扑学家布劳威尔（Luitzen Egbertus Jan Brouwer，1881-1966）那些令人生畏的崭新理论，它们激励了年轻人并帮助他们快速成长。

阿达马的优秀弟子莱维，早先时常跟不上讨论班中困难的报告，但他对 “困难难不倒英雄汉” 的老师深感敬佩。他观察到阿达马 “总在凝神听讲，经常在报告人讲得不好的地方打断对方，以澄清某一个要点，但是如果有什么东西他没能听懂，也从不羞于说出来，并且要求进一步的解释。” 阿达马这一勤学好问的秉性，给后来的布尔巴基团体留下了深刻印象。正因为如此，芒德布罗伊觉得，“阿达马讨论班是一种前布尔巴基，他本人是某种意义上的编辑，或抽象地说，他是布尔巴基的道德编辑。”

讨论班也常请外国人来讲最新成果，如意大利的沃尔泰拉（Vito Volterra，1860-1940）和列维-奇维塔（Tullio Levi-Civita，1870-1941），分别讲了非线性泛函和黎曼几何，德国的兰道（Edmund Georg Herman Landau， 1877-1938）讲了数论新法，俄罗斯的伯恩斯坦（Sergei Natanovich Bernstein，1880-1968）讲了多项式逼近和最佳逼近，美国的伯克霍夫（George David Birkhoff，1884-1944）讲了遍历问题，匈牙利的波利亚讲了他由阿达马博士论文的 “奇点分布解析延拓” 而获得的漂亮结果，等等。按照芒德布罗伊的说法，“他们都讲了自选的最拿手的东西。” 芬兰数学家奈望林纳（Rolf Herman Nevanlinna，1895-1980）开创的亚纯函数理论，则通过在阿达马讨论班上的宣讲而名闻天下。

阿达马开创的讨论班取得了前所未有的成功，吸引了巴黎内外的许多青年学者参加，许多学生经过讨论班的训练后，成为了极其活跃的研究者。世界各地的数学家闻之也纷至沓来，将参加阿达马的讨论班视为良机，如果被这位不知疲倦的大师邀请做一讲座，则更感到无尚荣光。

他早期的学生弗雷歇观察到：“由于阿达马的博学和掌握任何领域的能力，他将讨论班扩展到了包括数学的所有领域。” 这个包罗万象的数学讨论班，其精神实质被继承它的朱利亚讨论班以及诞生于20世纪 三十年代中期的布尔巴基学派继承了下来。

在阿达马讨论班之后，法国又有了朱利亚（Gaston Maurice Julia，1893-1978）讨论班，它也帮助了布尔巴基学派的诞生，而布尔巴基的讨论班一直持续到今天。

阿达马开创的讨论班形式很快传播世界。在三十年代的波兰，巴拿赫（Stefan Banach，1892-1945）主持的讨论班以传奇的 “苏格兰咖啡馆” 的独特形式出现，其中最积极的参与者之一，就是后来美国的 “氢弹之父” 乌拉姆（Stanislaw Ulam，1909-1984）。上个世纪法国著名的数学家、同时也是布尔巴基成员的昂立·嘉当（Henri Paul Cartan，1904-2008）、施瓦兹、格罗滕迪克（Alexandre Grothendieck，1928-2014）等都曾分别举办过多年的专题讨论班。至于苏联时代的数学家柯尔莫哥洛夫（Andrey Nikolaevich Kolmogorov，1903-1987）和他的天才学生盖尔范德（Israel Moiseevic Gelfand，1913-2009）各自的讨论班，更是名扬天下。我国伟大的数学家华罗庚在五十年代亲自主持了两个数论讨论班，一个关于 “解析数论” ，另一个则集中于专题 “哥德巴赫猜想”，从中训练出了中国数论学派的一代骨干。

在他事业的全盛期，阿达马与俄罗斯数学家多有联系，比如杰出的分析数学家鲁金（Nikolai Nikolaevich Luzin，1883-1950），他在刚满22周岁时去了巴黎游学，待了六个月。到了1913年，鲁金已是莫斯科大学的助理教授，他先后访问了哥廷根和巴黎达一年之久，并参加了阿达马的讨论班。他对此的感触是：“阿达马的讨论班是法国数学的划时代事件……一言蔽之，我只能说在巴黎我找到了无边的思考场。”

1930年，阿达马首次访问苏联，作为法国代表团的成员参加了全苏数学家大会，会后他访问了基辅的著名数学家克雷洛夫（Nikolai Mitrofanovich Krylov，1879-1955），后者曾在巴黎听过他的课，也参加过他的讨论班。四年后阿达马再度借参加 “法国科学周” 的机会访问苏联，这次他访问了数学重镇莫斯科和列宁格勒，会见了那些领头的数学家，并被他们称为当世最伟大的数学家之一。

1936年，阿达马夫妇开始了中国讲学之行，邀请信是清华大学和中法教育基金会共同发出的，这给了他们一个了解东方文明的极佳机会。

这段 “缘分” 的起源是这样的：1921年，时任政府教育总长的蔡元培（1868-1940）在巴黎访问讨论中法交流时，数学家出身并担任过法国总理的潘勒韦（Paul  Painlevé，1863-1933）给了他一份 “杰出法兰西科学家四人名单”，其中之一便是阿达马。

阿达马能够成行，可能也与美国数学家维纳（Norbert Wiener，1894-1964）有关，因为前一年维纳已经去了北京，清华的理学院和工学院联名邀请他去教书一年。由维纳在麻省理工学院1930年带出的博士李郁荣（Yuk-wing Lee，1904-1989），一直和老师密切合作，为维纳控制论的问世及传播作出了相当的贡献。学成回国后，他在清华的电机工程系担任教授，出面邀请了他的导师去授课并继续合作研究通讯理论。

维纳在其自传《我是一个数学家》中对阿达马多有回忆，他们最早相识于1920年在法国斯特拉斯堡举办的第六届国际数学家大会上，那时54岁明星般的阿达马一下子成了26岁维纳的偶像。在之后的几十年中，维纳一直对阿达马的提携和爱护心存感激，二人友谊和交往也持续到阿达马生命的最后一刻。

另一个促成阿达马去清华短期教书的人，是中国函数论研究领域的主要开拓者熊庆来（1893-1969）先生。他曾两度赴法留学，第二次出国后，先去瑞士苏黎世参加了第九届国际数学家大会，被法国研究亚纯函数论的大权威、施瓦兹后来的博士导师瓦利隆（George Jean Marie Valiron，1884-1955）所作的大会报告迷住了，便跟着他做研究，于1933年获得法国国家博士学位，翌年回到清华担任数学系系主任。

熊庆来第二次留学时曾受教于阿达马，而他独创的 “熊氏无穷集” 概念也得到了阿达马的称赞。归国后的熊庆来雄心勃勃，想把清华的数学提上一个台阶，其冲天豪气与当今的丘成桐教授一般无二。他说干就干，请梅贻琦