为什么数学家要努力求解那些看起来无用的难题?|徐晓平——科学讲坛

“因为这些问题是逻辑思维的标杆，解决它们就代表人类逻辑思维能力达到了新的高度，就像登山爱好者攀登高峰一样。”

徐晓平
中国科学院数学研究所博士生导师、研究员

大家好，我是徐晓平，来自中国科学院数学研究所。一提到数学，一般人都会觉得它太枯燥无味。但如果细细想、细细看，它又无处不在。今天我就从逻辑的角度，来向大家介绍一下数学的美。

首先，什么是数学？它是科学的描述和研究事物规律的方法和工具，是人类逻辑思维文明的重要体现，更是逻辑思维文明的发展..。

我曾经问一个法国教授：“数学有什么用？”他告诉我，数学能使人更聪明，数学的价值不能单靠物质上是否有用来衡量。美国华尔街的金融机构，雇佣了大量的数学博士，看重的就是他们的逻辑思维能力。

分大饼里的素数之美

自然数1、2、3、4、5……出现在古代人类文明中有五千年以上的历史。可是人们对自然数的认识，却是一个漫长发展的过程。比如说素数，也称为质数，是大于1的整数，不能写成小于它的两个正整数之积，例如2、3、5、7、11、13、17、19……。

素数最早出现在古代埃及分数中。如下图例子，有5张大饼要平均分给8个人，怎么分？先看古埃及怎么分，将其中4张各切成两半，剩下一张切成8块，这样每个人的份额就是半块加1/8块。

这是古埃及人刺在一种不易腐烂的树叶上的分配方案，由考古学家发现的。用现代数学表示，就是5/8等于1/2加1/8。它就是一个埃及分数，即一个数是有限个分子为1的分数之和。古埃及人在这样的分配方案中，意识到了素数的特性。

对素数研究的记载，最早出现在公元前300年的古希腊欧几里得的《几何原本》中，欧几里得证明了有无穷多个素数。

那么有没有更好的数素数方法呢？有，这就是所谓的素数定理。

例如，问小于X的正整数里有多少个素数时，当X小的时候能数，X大了就很难数了。而根据素数定理就能知道，当X充分大的时候，这个值与X除于lnX的值相近。

近看小于x的素数的个数看不出所以然，远看它却表现出优美的规律：X除以lnX，这就是数学的美妙之处。

这是18世纪末高斯和勒让德独立发现的，但并不是由他们证明。他们的发现只是一种猜测。两人试图证明过，但没有成功。后来Chebyshev（切比雪夫）在1851年，Riemann（黎曼）在1859年都尝试并取得了进展，但还是没有完全解决问题。最终，在1896年，由Hadamard（哈达玛）和Poussin(普桑）独立地完成了证明。

那素数有什么用？动物学家发现某些周期蝉（Magicicada）的演化用到了素数。

这些虫的一生，大多数时间以蛆的形式生活在地下，到化蛹出地洞需要7、13或17年，出来后婚飞繁殖，最多几周就死亡了。为什么这些虫要素数年后才出洞呢？据说是为了减少被天敌追杀的概率。

70年代，素数成为了发明公钥密码算法的基础，当然，还是现代许多数学领域里发展的根基。

远看才显现的公式之美

下面讲一个有趣的故事。

上世纪初，印度的天才数学家Ramanujan（拉马努金），在剑桥大学见到Hardy（哈代）之前，给Hardy写了一封信，内含他发现的等式。

左边是个无穷的连分式，而右边却是个简洁的初等表达式。Hardy看到后说：“它完全击溃了我，我之前一点也没有看过这样的东西，只有一流的数学家才能写出来！”，这就是让人眼前一亮的数学。

下面的例子则跟我们的日常生活有关。一个自然数n的分割函数，是n个物体分配方案的个数。

如下图，n等于2时有两种分法；n等于3有三种分法；当n等于4的时候就不是4种分法了，而是5种分法；而n等于5，有7种分法。

再看一下数字，P（2）等于2，P（3）等于3，P（4）等于5，P（5）等于7，P（10）等于42。可以看到P（100）已经很大，而到P（200）那就更大了。看了这组数据以后，你可能会说增长太快了，没法数。

但是有人会数。

Hardy和Ramanujan在1918年和Uspensky在1920年独立证明了：当n充分大时，P（n）与下图近似号右边初等函数的值相近。

同样，近看P（n）的数字跳跃的很厉害，看不出什么规律，远看却以一个初等函数的规律显示出来了。

这个结果是猜不出来的。他们是用了数论里面的圆法，经过复杂的计算得到的。他们做出了别人难以想象的结果。分割函数也常出现在量子物理中。

数学的“残缺美”

听说过“残缺美”这个词吧？听到这个词，我们很容易就会想到维纳斯女神的断臂雕像。

如果不是断臂，它只是一座普通西方女人的雕像，谁也记不住。可是一断臂，就让看过的人终生难忘。那么数学上有没有这样的事情呢？有。

1637年费尔马在阅读丢番图《算术》的拉丁文译本时在书里写到：“不可能把一个正整数的三次方，分成两个正整数的三次方之和；不可能把一个数的四次方，分成两个正整数的四次方之和；对正整数的更高次幂也类似。我发现了一个奇妙的证明，但这个空格太小了，写不下。”

这就是所谓的费尔马大定理。用公式写就是，对大于2的整数n，不存在正整数a、b、c，使得a的n次幂加b的n次幂等于c的n次幂。其实费尔马自己只证明了n等于4的情形。欧拉证明了n等于3的情形。最终在其提出358年后的1995年，由普林斯顿大学的Andrew Wiles教授所证明了，现在他在英国牛津大学。

由于没有看到费尔马留下的奇妙证明，人们在尝试证明它的过程中发展了代数数论、椭圆曲线理论、Hecke代数理论等。

如果费尔马真的证明了，并把证明留下来，那么这些理论的发展就很可能延缓，所以这就是数学的“残缺美”。

还有没有解决的数学难题吗？有。对中国来讲，最熟悉的就是哥德巴赫猜测。一个大于2的偶数都可以写成两个素数之和，这就是所谓的“1＋1”问题。

例如4等于2加2，6等于3加3，8等于3加5，10等于3加7，也等于5加5，12等于5加7等等。人们用计算机验证了所有小于等于4乘10的18次方的偶数，结论都对。可是到现在为止，人们仍然无法证明它。

1973年，我国著名的数学家陈景润证明，一个大于2的偶数可以写成两个素数之和，或一个素数加上两个素数之积。这就解决了所谓的1加2问题，这是该方向迄今为止最好的结果。

除此之外，还有一个问题叫孪生素数猜测。即存在无穷多个素数p，使得p+2也是素数，这是个千古之谜。

2013年，华人数学家张益唐证明了：存在无穷多个素数，使得从p到p加7000万这个区间内也含素数。这是数论领域里面一项革命性的工作。

在这之前人们不知道是否有这样的有限区间存在，在这之后格林和陶哲轩等人用张益唐的方法，把7000万改到200，取得了很大的进展，但离最后的结果2还相差很远，方法上还需要改进。

我们常看到星星，但可能没注意到一个多体问题。物理学家和数学家一直试图找出相互有引力的n个物体的运动轨迹。当n等于2时，已经被约翰·伯努利在17世纪解决；但当n大于2时，却至今没有解决。

2007年我在解n个物体在一条直线上的特殊模型时，发现了具有高斯超几何函数3个基本性质的多元超几何函数。在1798年的博士论文中，高斯引进了著名的单变元超几何函数，它的重要性就是由这三个基本性质导出的。

流体我们都熟悉，Navier-Stokes方程就是流体力学中基本方程。

对任意给定的一个光滑的初始条件，是否有光滑的整体解？这是数学界一个长期未解的问题，也是著名的千禧年难题之一，如果谁能解决就能得到一百万美元的奖金。

2009年我利用该方程的代数特点和运动变化，得到了一些能反映特殊物理现象的奇异解，如漩涡。当然，还有许多数学问题有待人们去探索。