神经网络量子态及其应用

人工智能主要有三条发展路线：符号主义、连接主义与行为主义^[1]。人工神经网络是连接主义的基石，也是最近几年深度学习取得突破进展的关键要素之一。它是受到生物大脑中信息处理模式的启发而提出的，最早可追溯到1943年由心理学家W. S. McCulloch与数理逻辑学家W. Pitts提出的神经元模型^[2]。当前，基于神经网络的人工智能技术正在给人类文明的方方面面带来革命性的改变^[3]：从语音、图像识别到引力波、黑洞探测，再到数据挖掘、自动驾驶、医学诊断、证券市场分析，等等。2018 年，计算机科学的最高奖——图灵奖也被授予三位人工智能科学家Yoshua Bengio，Geoffrey Hinton与Yann LeCun，以表彰他们在相关领域所做的突出贡献^[4]。

另一方面，量子力学是现代物理最重要的基础理论之一^[5]。其重要性广泛体现在我们的日常生活和科学探索中：从以电子计算机为代表的半导体工业到新奇的超导现象，从随处可见的化学电池到宇宙中神秘的黑洞，世间万物的变化规律都与量子力学密切相关。  

然而，对量子系统尤其是量子多体系统的研究是非常困难的。实际研究中能够严格解析解决的问题很少，对于绝大部分问题的求解，我们只能依赖于数值方法。对于最一般的情形，数值方法需要消耗指数量级的计算资源，这对于规模较小的物理系统是可行的，但如果系统规模变大，这一指数级的要求在经典计算体系下就难以满足了^[6]。1998年诺贝尔化学奖得主Walter Kohn将这一问题描述为“指数墙(exponential wall)” 困难^[7]。为此，物理学家做了大量的努力，发展了一系列计算方法，著名的蒙特卡罗算法以及重正化群算法就是典型代表。但是这些方法并不是通用的，分别有着各自的适用条件。比如蒙特卡罗算法在应用于一些有阻挫系统时会出现符号问题，从而使得算法需要指数级的时间；而密度矩阵重正化群算法一般仅适用于一维低纠缠熵系统。

在人工智能领域中，一个类似的问题是维度灾难(curse of dimensionality)。维度灾难最早是由动态规划先驱、著名应用数学家 Richard E. Bellman提出，描述了高维与低维数据集截然不同的性质对计算问题带来的影响^[8]：随着数据维度增加，有限规模的数据在空间中的分布会逐渐稀疏，从而失去统计意义。这就要求在一般情况下，我们需要非常大的数据规模来获得数据集的统计特征，但是这会对计算资源带来严重负担。经过多年的发展，人工智能领域提出了许多用于处理高维问题的方法和工具。人工神经网络就是一个应用非常广泛的例子，可以在一定程度上缓解维度灾难带来的困难。简单来说，人工神经网络可以看成是一个普适的函数拟合器。通过调节网络参数，它可以用来拟合任何光滑函数^[9]。

由于指数墙困难和维度灾难的相似性，一个自然的想法是可以用神经网络处理复杂的量子问题。如可以用神经网络识别不同的量子物态以及研究它们之间的相变 (参见《物理》2017年第9期蔡子的专题文章)。另一方面，我们也可以用神经网络来表示量子态，其主要思想是把神经网络当成变分波函数，通过调节网络参数来逼近目标波函数(如多体系统的基态)，进而求解所关心的物理问题。传统的量子多体变分波函数方法需要物理学家针对所求解的问题设计特定的变分函数，而神经网络量子态方法可以使用相对普适的结构，对于先验知识的依赖程度较低。此外，人工智能领域里发展的一些优化神经网络的方法也可以用于神经网络量子态，提高算法效率。

近年来，通过神经网络量子态的方法求解量子多体问题受到了广泛关注^[10—12]。当前，这是一个非常活跃的前沿研究方向。本文将介绍不同神经网络量子态的物理性质与典型应用场景，以及此方向的最新进展。所涉及的神经网络包括受限玻尔兹曼机，深度玻尔兹曼机，前馈神经网络，与循环神经网络等。典型应用包括：求解量子多体系统的基态及动力学演化，探测量子非定域性，量子层析，以及计算交错时序关联函数等。希望通过本文的讨论，读者能感受到神经网络量子态的魅力。众所周知，基于神经网络的智能程序 AlphaGo^[13]与 AlphaFold^[14]分别在围棋与预测蛋白质结构方面取得了里程碑式的突破。我们期望神经网络量子态能把这些突破延续到解决复杂的量子多体问题中来。

在量子力学中，一个封闭的、不与外界产生关联的物理系统的全部可能状态组成一个希尔伯特空间，每个特定的物理状态由该空间中的一个矢量描述。希尔伯特空间在数学上是线性空间，因此在确定其基矢之后，每一个物理状态对应的矢量可以表示为选定基矢量的线性叠加。在实际物理问题中，我们经常需要处理包含多个子系统的情况，系统的希尔伯特空间维数为各子系统对应空间维数的乘积^[15]。比如，假设我们需要描述包含N个自旋粒子的量子系统，每一个粒子自旋可以取上下两种可能，其对应希尔伯特空间维数为 2，那么整个系统的自旋状态就有 2^N 种可能，从而总希尔伯特空间维数为 2^N。因此，表示最一般情况下的波函数需要指数量级的计算资源。这给数值求解量子多体问题带来了极大挑战。

幸运的是，人们关心的物理状态一般还受到某些限制，比如对称性的限制或者是某些物理观测量的限制，每一个子系统并不是完全独立的，子系统状态会互相影响，从而整体系统可能的状态只占据了希尔伯特空间中的很小一部分。原则上可以针对不同的物理系统，利用具有特定结构的表示方法，在使用相对较少的计算资源情况下表示这些物理状态^[5]。著名的张量网络就是一个典型的例子^[16]。物理中一般使用纠缠熵(entanglement entropy)来刻画量子系统之间的关联强度。张量网络可以有效表示纠缠熵满足面积定律(即纠缠熵与子系统的表面积成正比)的物理状态^[17]。在这里，“有效”指的是只需要多项式量级的计算资源。另一个例子就是本文将要重点介绍的神经网络量子态。

图1 神经网络量子态示意图 (a) 生物大脑中的神经元；(b)感知机；(c)生物神经网络；(d) 人工神经网络；(e) 量子态的神经网络表示

神经网络由大量的节点(神经元)及它们之间的相互连接构成，如图1所示。每个节点包含一种特定的输出函数，称为激活函数。每两个节点间的连接代表对于通过该连接信号的加权值，称为权重。神经网络就是通过这种方式来简单模拟人类的大脑。网络的输出则取决于网络的结构、连接方式、权重和激活函数。神经网络中的神经元通常被排列成层状结构，第一层被称为输入层，数据由这一层输入。最后一层被称为输出层，中间层被称为隐藏层。如果一个神经网络有多于两层的结构，我们通常称其为深度神经网络，基于此构建的机器学习模型称为深度学习。依据具体网络结构和信息传播方向的不同，神经网络又可以分为很多种。常见的神经网络有前馈神经网络、卷积神经网络、玻尔兹曼机、循环神经网络等。本质上，量子波函数是一个函数，而神经网络是一个普适的函数拟合器。因此，我们可以用神经网络表示量子态。

人工智能领域针对不同的问题设计了多种多样的神经网络，原则上所有类型的神经网络都可以用于表示量子态。不同的网络有不同的结构，能有效表示的量子态以及网络训练的时间复杂度也不尽相同。在实际应用中，我们可以根据具体问题选择不同的神经网络^[18]。比如循环神经网络(recurrent neural network，RNN)非常适合处理序列数据，在机器翻译、语音识别以及文本生成等领域有着广泛的应用。可以将多体系统中量子比特构型视为序列数据，从而利用循环神经网络来表示量子多体态^[30]。卷积神经网络(convolutional neural network，CNN)则是另一类被广泛使用的深度神经网络，适合图像处理、行为认知、迁移学习等场景。文献[31]表明，卷积神经网络也可以用来表示量子态，如前面提到的环曲面码态。

如前所述，人工神经网络可以非常有效地表示多体量子态，其在量子物理，尤其是解量子多体问题中有很广泛的应用。图4归纳了当前神经网络量子态的主要应用。接下来，我们简要介绍部分近期的相关工作，主要侧重于RBM量子态的应用。

一个孤立封闭的量子系统可以由哈密顿量描述，其演化过程满足薛定谔方程。求解给定哈密顿量的基态和动力学演化是量子物理中常见的基本问题。对于少数特殊的模型，如一维伊辛模型(Ising model)，其基态和动力学可以通过解析的方法严格求解。然而，实际研究中能够解析求解基态和动力学的情况很少，我们需要依赖数值方法。

利用神经网络求解基态和动力学的核心想法是把神经网络量子态看成变分函数，通过梯度下降算法优化网络参数求解相应问题。以受限玻尔兹曼机为例，G. Carleo 和 M. Troyer 首先求解了几个典型的量子磁性模型(如伊辛模型、海森伯模型)的基态及动力学，并与传统的密度矩阵重正化群等方法进行了比较^[19]。结果表明，神经网络的方法使用较少的参数就得到了相近精度的基态能量和动力学演化，这在一定程度上展示了神经网络方法的优越性。

值得指出的是，对于最一般情形求解基态和动力学演化可以证明是NP问题。因此，神经网络的方法也不能有效求解所有量子系统的基态和演化。当前的研究表明，其在解决涉及大量子纠缠与高维系统的问题中相比传统方法可能有优势，但是这一优势还没有得到确切的证明。如何判断给定哈密顿量的基态和动力学是否可以通过神经网络的方法有效求解是此领域里一个亟待解决的重要问题。这一问题的解决可能需要发展新的物理概念和数学工具。

交错时序关联函数(out-of-time ordered correlator，OTOC)最早由A. Larkin与 Y. Ovchinnikov在1969年研究超导理论时提出^[32]。经过几十年的发展，OTOC在表征量子混沌，量子信息置乱(information scrambling)，动力学相变等研究中都有重要应用。此外，其还可以给通过Ads/CFT对偶研究量子引力与黑洞带来新的启示。最近，实验测量OTOC也在离子阱、固态自旋、玻色—爱因斯坦凝聚等系统中实现。

考虑量子多体系统中在空间上分开的两个局域算符 W 与 V ，其对应的OTOC定义为

其中为W在海森伯绘景中的时间演化算符。任正非最新讲话：未来是云时代，华为也要转向云战略